Hombrewing & PID – Questo sconosciuto…

Questo articolo non vuole essere un testo professionale e dettagliato ma solo il tentativo di spiegare semplicemente cosa sono i regolatori PID e a cosa servono a noi homebrewers.
Spesso quando si cercano informazioni per costruirsi un impiantino elettrico per farsi la birra in casa ci si imbatte in qualcuno che giustamente ci consiglia di usare un regolatore di questo tipo ma a cosa serve?
Ogni volta che un dispositivo deve mantenere costante un determinato valore, ad esempio una velocità, una rotta, un livello o come nel nostro caso una temperatura serve un regolatore che corregga eventuali ed inevitabili errori rispetto al valore che vogliamo mantenere.
Se pensiamo al pilota automatico di una nave che deve lavorare per mantenere la rotta, ci è facile capire come venti, correnti e onde siano fonti di errore che il regolatore deve contrastare. Non è detto che sia solo così, ci può essere anche il caso in cui si debba seguire un valore che cambia come ad esempio un missile che segue l’aereo da colpire. Nel caso che più ci interessa cioè per fare della buona birra tra le mura domestiche il regolatore deve mantenere una temperatura costante nelle varie fasi di mash contrastando la dispersione di calore e l’inerzia termica della nostra pentola, evitando di andare a valori troppo alti o troppo bassi rispetto al target impostato.
Vediamo ora come funziona e quali valori dobbiamo impostare per raggiungere il nostro obbiettivo.

Regolatore Proporzionale

Per spiegarlo meglio pensiamo ad un pilota automatico di una nave: in modo banale può sembrare sufficiente un dispositivo che legga la bussola e giri il timone nella giusta direzione e con la giusta inclinazione per seguire la rotta. L’inclinazione necessaria avrà un comportamento Proporzionale cioè più la nave è fuori rotta più intensa sarà la correzione del regolatore. Un comportamento quindi legato ad una relazione tipo:

 

correzione=K*errore

 

dove K è ovviamente da impostare in funzione dei parametri meccanici del timone e della velocità di risposta che vogliamo ottenere.
Questo è un buon inizio, infatti è un regolatore di tipo proporzionale che è una componente del PID: si può intuire facilmente che la P nel nome sta proprio per proporzionale. Sfortunatamente un regolatore che preveda una correzione solo proporzionale non è sempre ciò che serve. Ritornando al nostro esempio sarebbe facile verificare che la nave continuerebbe a virare attorno alla rotta assegnata senza seguirla mai perfettamente. Senza inoltrarci nella teoria del perché proviamo a capirlo con l’intuito. E’ evidente che il regolatore è attivo solo quando c’è un errore e quindi salvo casi eccezionali o brevi momenti transitori avremo sempre un errore, inoltre se si eccede nella intensità della correzione il sistema diventa instabile e inizia a pendolare attorno al valore giusto con oscillazioni sempre più ampie. Ritorniamo quindi alla formula citata prima che proponiamo in forma più seria:

 

P = Kp *ε

 

P è il valore della correzione che vogliamo dare al nostro sistema.
ε è il valore dell’errore cioè la differenza tra il valore misurato dal sistema e il valore che desideriamo mantenere.
Kp è la costante che imposteremo per regolare la risposte del sistema.
Chi ricorda un minimo di matematica riconoscerà nella formula l’equazione tipica di una retta dove Kp rappresenta la pendenza della retta. In pratica maggiore sarà Kp maggiore sarà “l’intensità” della correzione e più veloce il ritorno verso il valore di consegna e maggiore sarà però il rischio di instabilità. In sostanza la parte proporzionale è fondamentale per un regolatore in quanto lega la correzione in modo diretto all’errore, da sola però questa parte non riesce a dare stabilità al sistema e se vogliamo nemmeno a prevenire l’errore.

pid KP

La I di PID, l’integrale o integratore

L’integrale altro non è se non la somma di tutti gli errori nel tempo e in pratica si ottiene semplicemente facendo:

 

I = I + Ki *ε

 

Questo parametro “ricordando” gli errori precedenti produce l’effetto di smorzare le oscillazioni tipiche del sistema proporzionale. Se prima il sistema ci forniva in uscita una variabile che avevamo chiamato P=Kp*ε ora abbiamo:

OUT = P + I

 

Con I calcolata come nella formula precedente.
L’effetto di rendere più stabile il sistema è dato da una sorta di ritardo con la quale la variabile OUT viene integrata. Questo ritardo dipende dalla Ki, costante che dovremo scegliere e bilanciare affinché l’accoppiata P e I sia efficace. Questo ritardo ha però un prezzo, rende l’insieme meno reattivo e veloce. Per molte applicazioni comunque il tutto potrebbe essere già sufficiente così.
Con questi due semplici parametri è possibile realizzare un semplice robot inseguitore di linea (linefollower in inglese) e provandolo ad esempio su un percorso rettilineo di alcuni metri scopriremmo come attivando solo il regolatore proporzionale ci troveremmo nelle situazioni di oscillamento descritte e aggiungendo l’integratore si possa ottenere un andamento più fluido.
Pid integral-gain-graphs

La D di PID, la derivata

La derivata è una funzione matematica abbastanza nota e viene usata per ottenere una risposta più rapida e una “previsione” di quanto sta accadendo. La derivata infatti lavora sulla tendenza dell’errore e non sull’errore assoluto. Questo significa che ad esempio sapendo che l’errore sta crescendo possiamo dare più energia alla correzione di quanto previsto dal solo parametro proporzionale mentre possiamo ridurre la correzione se l’errore sta diminuendo segno che se siamo in fase di arrivo. La derivata per così dire accelera o decelera l’intervento del regolatore in modo dinamico seguendo la tendenza dell’errore e permettendoci di prevedere che, senza altri interventi, alla prossima lettura l’errore sarà minore o maggiore in base appunto alla tendenza.
A livello di formule la derivata la calcoliamo così:

 

D=Kd• (δε  / δt)

 

Qui abbiamo che D è il valore della correzione, Kd è la solita costante che andremo a settare noi in funzione del peso che vogliamo dare alla parte derivativa del nostro regolatore.
δε è la differenza tra i due errori ossia, è chiaro che il sistema dovrà controllare la nostra grandezza ad intervalli regolari e confrontarla con il valore che vogliamo mantenere per cui ad ogni controllo avremo un errore, se fissiamo in t il momento dell’ultimo controllo avremo che il controllo precedente sarà stato effettuato in t-1, avremo quindi due letture di errore,
ε(t) e ε(t-1), la differenza tra questi due valori ci dice se l’errore sta aumentando o diminuendo, avremo quindi un risultato positivo (l’errore aumenta) se l’ultimo errore è maggiore del precedente, negativo al contrario, noterete quindi che D assume un valore positivo o negativo in funzione della tendenza e non del valore assoluto dell’errore.
δt se ripetiamo la misura ad intervalli regolari viene fissato ad 1 non è quindi influente nel nostro calcolo.

Finalmente il PID

Abbiamo finalmente i nostri tre elementi che costituiscono il nostro PID, non ci resta che combinarli. Beh, dal punto di vista matematico è molto semplice:

 

OUT = P + I + D

 

In effetti è tutto quello che serve, i calcoli dei tre parametri li abbiamo fatti prima, li riassumendo aggiungendo che ovviamente vanno fatti ad ogni ciclo di misura della nostra grandezza da regolare.

 

P=Kp* ε
I=I+Ki*ε
D=Kd• (δε  / δt)

Regolare il PID

Il difficile in tutto questo è regolare le tre costanti K. Queste determinano infatti il peso dei tre parametri sul totale della nostra regolazione, per fare una cosa scientifica esistono dei metodi precisi e complicati che probabilmente vanno ben oltre i nostri scopi, mentre a livello hobbystico per birrificare in casa è spesso meglio usare un metodo empirico e cioè la sperimentazione e le prove. Seppur empirico è un metodo e va fatto non per tentativi casuali ma con cognizione di causa e criterio. Il suggerimento è quello di impostare un parametro per volta ovvero disabilitarem inizialmente le regolazioni I e D e cercare di ottenere il massimo dell’efficienza dalla sola regolazione proporzionale. Solo in seguito aggiungeremo la regolazione I e ancora dopo la D cercando sempre di fare piccole variazioni e vedere subito come si modifica il comportamento. Siccome iniziamo dal solo parametro proporzionale potrebbe risultare necessario tenere questo un po’ più basso quando si aggiungono gli altri due rispetto al valore che ci sembra ottimale nella prova iniziale. Sicuramente ci vuole pazienza, tempo per fare le prove e un po di fortuna per trovare i valori ottimali abbastanza velocemente. Se doveste essere interessati al metodo scientifico o ad ulteriori approfondimenti su questo tipo di regolatore vi consiglio questo ottimo documento molto specifico.

Video

Per concludere vi lascio questo bel video molto esplicativo del funzionamento di un PID.

Fonti

Il documento che vi ho appena suggerito è originariamente postato al seguente indirizzo.
L’intero articolo è invece una semplificazione riassunto del bel lavoro svolto da Marco Fabbri e che potete trovare qui.

Appassionato di birra dal 2012 ed homebrewer dal 2015. Dopo quasi un annetto di Kit mi sono buttato nell'All Grain e non ho più smesso di fare birra. Mi piacciono un po' tutti gli stili anche se mi sono avvicinato a questo mondo grazie alle Pils Ceche che continuo ad adorare. Mi piace bere buona birra in compagnia e condividere tutte le mie esperienze sia di degustazione che di produzione.

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